Teoría de Números
Seminario general de Teoría de Números.
Coordinators:
Modularidad: antes de Wiles y después de Wiles
Parte 1: la geometría aritmética al encuentro del análisis
Hace 30 años Andrew Wiles sorprendió al mundo al anunciar su «Teorema de Modularidad» para curvas elípticas, celebrado por completar la demostración del Último Teorema de Fermat.
El objetivo de esta charla es motivar la idea de modularidad desde sus primeras versiones en las leyes de reciprocidad de Gauss y la relación con las funciones L de Dirichlet.
El programa de Langlands predice una vasta red de conexiones desde la geometría aritmética (ecuaciones diofánticas) hacia el análisis (formas modulares o automorfas), siendo la modularidad de las curvas elípticas una pequeña parte de este programa.
Modularidad: antes de Wiles y después de Wiles
Parte 2: paramodularidad de 3–variedades Calabi–Yau
Hace 30 años Andrew Wiles sorprendió al mundo al anunciar su Teorema de Modularidad para curvas elípticas, celebrado por completar la demostración del Último Teorema de Fermat.
El objetivo de esta charla es presentar las correspondencias entre formas paramodulares y algunos objetos geométricos.
Tras una breve introducción a las formas paramodulares, recordaré el enunciado de la Conjetura Paramodular de Brumer y Kramer para superficies abelianas.
Otros objetos geométricos de interés son las variedades de tipo Calabi–Yau. Explicaré cómo usar una versión explícita del método de Faltings–Serre para probar la paramodularidad de algunas 3–variedades de tipo Calabi–Yau.
Teoría clásica de formas de Siegel
Hace cerca de noventa años, C.L. Siegel introdujo una generalización de las formas modulares elípticas en relación con su estudio de formas cuadráticas. Incluso hoy, las formas de Siegel, especialmente aquellas asociadas a subgrupos de congruencia, siguen siendo estudiadas.
El objetivo de esta charla es dar una introducción a la teoría clásica de formas de Siegel. Veremos las definiciones básicas, propiedades y algunas construcciones importantes en los espacios de formas modulares.
Vínculos entre la aritmética y la geometría hiperbólica
Parte I
El objetivo de las charlas es transmitir lo mucho que me fascina el vínculo del título. Intentaremos evidenciarlo con dos hechos: cómo el Lema de Selberg sobre grupos lineales en cuerpos de característica cero nos permite mostrar que todo orbifold hiperbólico tiene un cubrimiento de índice finito por una variedad hiperbólica, y el vínculo entre la dicotomía de Margulis sobre lattices irreducibles y la existencia de infinitas superficies totalmente geodésicas inmersas en una 3 variedad hiperbólica de la mano de su caracterización de aritmeticidad.
Posteriormente, si da el tiempo, comentaremos cómo esto lleva a la definición de grupos y variedades aritméticas y sus construcciones.
La idea es que no sea necesario tener muchos conocimientos previos en ninguna de las dos áreas, por lo que introduciremos todos los conceptos que aparezcan.
Vínculos entre la aritmética y la geometría hiperbólica
Parte II
El objetivo de las charlas es transmitir lo mucho que me fascina el vínculo del título. Intentaremos evidenciarlo con dos hechos: cómo el Lema de Selberg sobre grupos lineales en cuerpos de característica cero nos permite mostrar que todo orbifold hiperbólico tiene un cubrimiento de índice finito por una variedad hiperbólica, y el vínculo entre la dicotomía de Margulis sobre lattices irreducibles y la existencia de infinitas superficies totalmente geodésicas inmersas en una 3 variedad hiperbólica de la mano de su caracterización de aritmeticidad.
Posteriormente, si da el tiempo, comentaremos cómo esto lleva a la definición de grupos y variedades aritméticas y sus construcciones.
La idea es que no sea necesario tener muchos conocimientos previos en ninguna de las dos áreas, por lo que introduciremos todos los conceptos que aparezcan.
Una introducción al método de los p-vecinos de Kneser
Al estudiar formas cuadráticas enteras, la equivalencia resulta un concepto fundamental. Dado que, fijado un discriminante, hay finitas clases de equivalencia de formas cuadráticas definidas positivas n-arias parece razonable preguntarse cuántas clases hay. Kneser introduce, en 1957, el método de los p-vecinos, consiguiendo, así , entre otras cosas, hallar el número de clases de formas cuadráticas de discriminante pequeño para n=1, …, 16.
El objetivo de esta charla es introducir el método en el caso de formas cuadráticas ternarias, mostrando también cómo algorítmicamente podemos enumerar todas las clases de equivalencia de formas cuadráticas en un caso concreto. Veremos, también, que puede definirse una acción de Hecke en el espacio vectorial con base las clases y exhibiremos en un ejemplo la relación entre éste y el espacio de formas modulares clásicas de peso 2.
Formas ortogonales para O(5) y formas paramodulares
Siguiendo algunas ideas presentadas por Matías el viernes pasado, mostraré cómo usar los p-vecinos para construir formas paramodulares de peso mayor o igual a 3. También hablaré de una idea para usar ciertas congruencias para ayudar en el cálculo de formas paramodulares de peso 2.
Ciclos de Heegner generalizados para formas modulares elípticas
En esta charla, discutimos ciclos de Heegner generalizados para formas modulares elípticas, su definición y relación con funciones L p ádicas siguiendo Bertolini–Darmon–Prasanna (2013). También discutimos sus interpolaciones a lo largo de familias de Hida de formas modulares, siguiendo Castella (2024), y a lo largo de familias de Coleman, siguiendo Jetchev–Loeffler–Zerbes (2021). Esta charla tiene como objetivo ser una introducción a mi charla en La Paloma.
Un enfoque localmente analítico sobre la correspondencia de Langlands p-ádica
La correspondencia de Langlands p-ádica para GLn(Qp) relaciona, por un lado, representaciones p-ádicas de dimensión n del grupo de Galois del cuerpo de números p-ádicos Qp y, por otro lado, cierto tipo de representaciones de GLn(Qp) de dimensión infinita. Para n=2, fue demostrada por P. Colmez y, para n>2, está todavía completamente abierta.
En esta charla voy a dar una introducción a las ideas que dieron lugar al programa de Langlands p-ádico y voy a intentar explicar un nuevo enfoque (trabajo en colaboración con P. Colmez), donde construimos la correspondencia de Langlands a partir de su versión localmente analítica.
Sobre la cantidad de soluciones a ecuaciones sobre cuerpos finitos
En esta charla, vamos a comenzar recordando las propiedades básicas de la función zeta de Riemann y de la función zeta de Dedekind asociada a un cuerpo de números.
Viendo el desarrollo de esta teoría de funciones zeta, se puede ver que la construcción de la función zeta de Dedekind depende solamente de dos propiedades puramente algebraicas de los anillos de enteros de cuerpos de números. Con esto, Emil Artin se da cuenta de que los anillos de funciones regulares de ciertas curvas sobre cuerpos finitos también cumplen estas propiedades; más adelante se probaría que, para cualquier curva suave y proyectiva sobre un cuerpo finito, su anillo de funciones regulares satisface estas condiciones. Con esto, podemos definir la función zeta de Hasse–Weil, que se generaliza para variedades suaves y proyectivas sobre cuerpos finitos, y veremos que codifica la cantidad de soluciones de las ecuaciones que dan la variedad.
Proporción de punto fijo y aplicaciones a Teoría de números
Dada una sucesión de números enteros positivos, ¿cuál es la densidad de Dirichlet de los números primos que dividen al menos un término en la sucesión? Odoni consideró esta pregunta en 1985 en el caso de la sucesión de Sylvester y su solución abrió una nueva subárea en matemáticas que conecta Teoría de números, Probabilidad, Teoría ergódica, Dinámica aritmética, Dinámica compleja, Geometría algebraica y Teoría de grupos. Años más tarde, generalizaciones de la pregunta inicial y de las ideas de Odoni fueron descubiertas, así como nuevas aplicaciones a Teoría de números.
En mi charla, haré una introducción al tema con el objetivo principal de invitarlos a participar de un mini-curso online en el que estoy desarrollando los detalles de esta teoría.